비유클리드 기하학,쌍곡기하학,타원기하학

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비유클리드 기하학,쌍곡기하학,타원기하학

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목차

I. 기하학의 발견

II. 비유클리드 기하학을 위한 수학자들의 업적
1) 가우스의 업적
2) 로바체프스키의 업적
3) 야노스 볼리아이의 업적

III. 쌍곡기하학
1) 클라인의 모형
2) 푸앙카레의 모델
3)벨트라미 모형

Ⅳ. 타원기하학(리만기하학)
1) 리만 모델

V. 비유클리드 기하에 관련한 문제

참 고 문 헌

본문내용

I. 기하학의 발견

유클리드 기하학의 기초가 되는 다섯 개의 공준은 다음과 같다.

공준 1. 임의의 점으로부터 임의의 점에 대해 하나의 직선을 그을 수 있다.
공준 2. 한 직선에 유한의 직선을 무한히 연장할 수 있다.
공준 3. 임의의 점을 중심으로 하고 그 중심으로부터 그려진 임의의 유한 직선과 동일한 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.
공준 4. 모든 직각은 서로 합동이다.
공준 5. 한 직선이 두 직선과 만날 때 같은 쪽에서 2직각보다 작은 안각을 만든다면, 이들 두 직선을 한없이 연장하면, 2직각보다 작은 각이 만들어진 쪽에서 만난다.

처음 두 공준은 직각자를 가지고 그려봄으로서 얻어질 수 있고, 세 번째 공준은 컴퍼스를 가지고 그려보면 알 수 있다. 네 번째 공준은 각도기를 가지고 각을 측정해보면 알 수 있다. (여기서 보각의 합은 180°이고, 따라서 보각이 서로 합동이면 그들은 각각 90°가 되어야한다.) 여기서 5번째 공준을 평행선 공준이라고 하는데 유클리드 기하가 공표된 후에, 많은 수학자들은 유클리드의 제5공준에 대해 의심스러워하였다. 유클리드는 ‘원론’에서 인간이 직관적으로 자명하다고 느껴서 의심스러워하지 않는 명제들을 공준 또는 공리로 내세우고, 공리와 공준으로부터 참인 수학 명제를 연역적으로 추론하였다. 그러나 제5공준의 의미를 파악하기 위해서는 제5공준의 내용을 자세히 읽거나 도형을 그리면서 의미를 파악해야 한다.
18세기에서 19세기 전반에 걸쳐 많은 기하학자들이 평생선 공준이 다른 4개의 공준에 종속적인가를 의심하면서 4개의 공준으로부터 제5공준을 유도하고자 시도하였다. 특히 18세기 초 사케리가 이 공준을 유클리드 원론의 다른 공준에서 얻으려는 시도에서 평행선 공준의 논의에 대하여 중요한 공헌을 하여 비유클리드 기하학의 선구자가 되었다. 19세기 초에 로바체프스키와 볼리아이는 평행선의 공리를 대담하게 부정하여 이것과 유클리드의 다른 공리로부터 새로운 하나의 기하학을 건설하였다. 같은 사상을 갖고 있던 가우스와 함께 이들은 비유클리드 기하학의 발견자이다.

참고 자료

1. Howard Eves,「수학사」, 경문사, 2000
2. M. J Greenberg,「유클리드 기하학과 비유클리드 기하학: 발전과 역사」, 경문사, 1996
3. 비유클리드 기하학의 역사와 수학에 미친 영향에 대하여 / 이이찬(건양대 교육대학원, 2006)