사면체이론

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사면체이론(tetrahedron argument)
물체의 한 점 p를 통과하는 평면상에 작용하는 수직응력과 전단응력은 일반적으로 평면의 방향에 의존한다. 수직응력과 전단응력을 결정하기 위해 공식을 사용하는 해석적 방법과 모아원을 사용한 도식적 방법의 사용법을 배웠다. 이 방법들은 단지 p점을 지나는 평면 응력의 특별한 경우에 사용하였다. 사면체 이론을 사용하면 평면상의 어떠한 점 p에 대해서도 일반적인 응력 상태에 대한 수직응력과 전단응력을 나타내는 수식을 유도할 수 있다. 다음 그림1.9는 p점을 포함하는 사면체와 한 물체에서의 점 p 이다. 사면체의 세면은 좌표계에 대해 수직이고 네 번째 면은 특정 방향을 갖는 단위 벡터 에 대해 수직이다. 벡터에 대해 수직인 면의 면적을 라 하면 x축에 수직인 면적을 , y축에 수직인 면적을 , z축에 수직인 면적을 라 한다(그림1.10). 다음 그림1.10은 사면체 면의 면적과 벡터과 그 성분 사이의 각은 임을 보여준다.

그림1.10 사면체 면의 면적과 수직인 벡터

벡터 과 x축 사이의 각도를 라 하면 의 x 성분은 이다. 은 면적 에 수직이다. x축은 면적 에 수직이다. 면적는 면적를 y-z 면에 투영한 것이다. 따라서 이다. 및 도 동일하게 나타낼 수 있다.
즉 ,
이다.
면적 를 갖는 표면에 작용하는 응력 벡터(traction)의 평균값을 라 하자. 다음 그림1.11은 트랙션 벡터의 x 성분과 x 방향의 힘을 받는 응력 성분들의 평균값을 보여준다. 이 사면체에서의 x 방향의 힘의 합력을 구하면 다음과 같다.

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