수치해석 4장 숙제 - 적합곡선

소개글

<적합곡선> 숙제입니다. 문제가 쓰여있진 않지만 자세한 풀이와 코드가 쓰여있습니다.

목차

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본문내용

►문제 1번rnrnLagrange 3차 보간다항식을 구해보면rnrnP_3 (x)= (x-0.3)(x-0.6)(x-1.0)/(0-0.3)(0-0.6)(0-1.0) ×0.0000 rn + (x-0)(x-0.6)(x-1.0)/(0.3-0)(0.3-0.6)(0.3-1.0) ×0.4183rn + (x-0)(x-0.3)(x-1.0)/(0.6-0)(0.6-0.3)(0.6-1.0) ×0.5115rn + ((x-0)(x-0.3)(x-0.6))/((1.0-0)(1.0-0.3)(1.0-0.6))×0.3345rnrn여기서 x=0.7일 경우 rnrnP_3 (0.7)= (0.7-0.3)(0.7-0.6)(0.7-1.0)/(0-0.3)(0-0.6)(0-1.0) ×0.0000 rn + (0.7-0)(0.7-0.6)(0.7-1.0)/(0.3-0)(0.3-0.6)(0.3-1.0) ×0.4183rn + (0.7-0)(0.7-0.3)(0.7-1.0)/(0.6-0)(0.6-0.3)(0.6-1.0) ×0.5115rn + (0.7-0)(0.7-0.3)(0.7-0.6)/(1.0-0)(1.0-0.3)(1.0-0.6) ×0.3345rnrn= 0 - 0.139433 + 0.59675 + 0.03345 = 0.490767rnrnLagrange 3차 보간다항식을 구하는 코드는 다음과 같다.rnrn rnrn#include<stdio.h>rn#include<math.h>rn#define SIZE 4rnrnrndouble xa[SIZE];rndouble f[SIZE];rndouble k;rndouble x=0.7;rnrndouble lag(double x, double xa[SIZE], double f[SIZE]);rnrnrnvoid main()rn{rn double xa[SIZE]={0, 0.3, 0.6, 1};rn double f[SIZE]={0, 0.4183, 0.5115, 0.3345};rn lag(x,xa,f);rn printf("P3(0.7) = %f ", k);rn}rnrndouble lag(double x, double xa[SIZE], double f[SIZE])rn{rn int i,j;rn double term;rn k=0;rn for(i=0;i<SIZE;i++)rn {rn term=f[i];rn for(j=0;j<SIZE;j++)rn {rn if(i!=j) rn {rn term=term*((x-xa[j])/(xa[i]-xa[j]));rn }rn }rn k=k+term;rn }rn}rnrn이제 식(4.7)을 이용해서 오차를 추정해보자.rnrnn=3,f(x)= e^(-x) sin⁡〖(2x)〗,f^```` (x)= e^(-x) (4 cos⁡(2x)-7 sin⁡(2x)) 이므로 오차는rnrnE(x)=(x-0)(x-0.3)(x-0.6)(x-1.0)(e^(-ξ) (4 cos⁡(2ξ)-7 sin⁡(2ξ)))/4!rnrn이고 따라서 x=0.7에서의 오차는rnrnE(x)=(0.7)(0.4)(0.1)(-0.3)(e^(-ξ) (4 cos⁡(2ξ)-7 sin⁡(2ξ)))/4!rnrn즉, E(x)=-0.00035×e^(-ξ) (4 cos⁡(2ξ)-7 sin⁡(2ξ) ) 이다.rn이 때 0≤ξ≤1 이므로 오차의 범위는 다음과 같다.rnrn-0.0014≤E(x)≤0.001034rnrnrn위와 같이 Lagrange 3차 보간다항식을 이용해서 함수의 근사값을 구하는 과정은 어렵지 않았다. 참고적으로 참값과 근사값의 차이를 직접 확인하기 위해 참값을 구해보면 e^(-0.7) sin⁡〖(1.4)〗=0.489360 이 나왔는데 위에서 구한 근사값은 P_3 (0.7)=0.490767 이므로 근사값과 참값의 오차는 0.489360 – 0.490767 = -0.001407 이다. 결론적으로 절대오차가 추정오차의 범위를 약간 벗어났지만 거의 근사하므로 오차는 식(4.7)에 의해 어느정도 추정이 가능하다는 것을 실제로 알 수 있었다.

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