#8 Pendulum Motion

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카이스트 일반물리학실험 A+ 받은 자료입니다.

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#8 Pendulum Motion
실험목적
단진자 운동에서 주기, 실의 길이 등에서 각 요소들 간의 관계를 알아보고, 이를 이용하여 이론적인 공식에 측정한 여러 데이터를 대입하여 중력가속도 를 구해 본다. 또한 초기 각도의 크기가 아주 클 때와 아주 작을 때의 차이점을 알아본다.
이론적 배경
(1) 진폭이 작을 때
위의 그림처럼 단진자를 생각해보자. 위와 같은 상황을 고려함에 있어서 생각을 간단하게 하기 위해서 고정된 축을 지나는 어떠한 한 평면 위에서 일어나는 운동만을 생각할 것이다. 그러면 다음과 같은 식을 얻는다.
,
이므로 위의 식에 의해 임을 알 수 있다.
가 충분히 작을 때 라고 할 수 있으므로
이 식의 근은 이고, 로 주어진다. 와 는 각각 진폭과 위상을 결정하는 독립적인 상수이다. 이 주기운동에서 진폭이 충분히 작을 때, 이 운동의 진동수, 즉 주기는 진폭과 무관하다는 것을 알 수 있다.
(2) 진폭이 클 때
이 경우에는 총 에너지를 생각하여서 구할 수 있다. 위에서 주어진 토크에 대해서 퍼텐셜 에너지를 구하여보면 다음과 같다.
계산상 편의를 위하여 로 하였다. 총 에너지는 다음과 같다.
위 식의 양변을 로 나누고, 변수를 분리하여 적분을 취해주면 다음과 같다.
이 운동이 진동 운동이 될 조건 를 만족하는 경우에, 의 최대값 를 이용하여
를 얻는다. 그리고 이를 위의 적분 식에다 대입하면 다음과 같다.
여기서 새로운 변수 를 도입하여 다음과 같이 사용한다.

참고 자료

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