비유클리드 기하학 - 평행선 공준의 다양한 증명

소개글

비유클리드 기하학의 탄생에 배경이 된 평행선 공준에 대한 다양한 증명들에 대한 리포트입니다. 비유클리드 기하학이나 평행선 공준에 대해 공부하는 사람이라면 한 번쯤은 꼭 봐야한다고 생각합니다.

목차

1. 비유클리드 기하학

2. 평행선 공준과 비유클리드 기하학의 탄생

3. 평행선 공준의 다양한 증명 시도

⑴ 프톨레마이오스(Claudius Ptolemy, 85-165)
⑵ 프로클로스(Proclus : 410-485)
⑶ 월리스(John Wallis, 1616-1703)
⑷ 사케리(Girolamo Saccheri : 1667-1733)
⑸ 람베르트(Johann Lambert : 1728-1777)
⑹ 볼리아이(Wolfgang Bolyai : 1755-1856)

4. 글을 마치며

본문내용

1. 비유클리드 기하학
중고등학교 시기에 우리는 대게 지식을 무비판적으로 수용한다. 그런 과정에서 유클리드 기하학도 무비판적으로 받아들인다. 평행선은 하나뿐이고, 삼각형의 내각은 180도이고, 언제나 직사각형은 존재하는 이런 세상이 유클리드 기하학이다. 사실 ‘이런 세상’이라 하기도 어색하다. 너무도 당연한 우리가 사는 세상인 것 같다. 하지만 유클리드 기하학이 아니라면 평행선은 두 개 이상이거나 심지어 없을 수도 있고, 삼각형의 내각은 180도 보다 작을 수도, 클 수도 있으며 직사각형은 존재하지도 않는다. 이런 세계를 떠올리긴 쉽진 않지만 분명 존재한다. 그것이 비유클리드 기하학이다.
비유클리드 기하학이란 쌍곡기하학과 리만기하학을 말한다. 비유클리드 기하학은 유클리드 기하학이 아닌 기하학을 총칭하기도 하지만 우리가 관심 가질 기하학은 쌍곡기하학과 리만기하학뿐이다. 이제 각각에 대한 간단한 설명과 이것들이 왜 의미를 갖는지에 대해서 알아보자. 평소에 우주의 구조에 대해서 관심 있는 독자라면 알고 있겠지만 우주의 공간은 휘어있다. 타원처럼 볼록하게 휘어있기도 하며 말안장처럼 오목하게 휘어있기도 하다. 따라서 우주의 구조를 연구하는데 있어서 평면상에서만 성립하는 유클리드 기하학이란 그저 무용지물에 불과하다는 말이다. 그렇다면 휘어진 평면에서는 도대체 어떤 기하학을 적용시켜야 할까. 그 때 필요한 기하학이 쌍곡기하학과 리만기하학이다. 아인슈타인의 상대성이론, 페렐만의 푸앵카레의 추측 증명 과정에서 리만기하학이 중요하게 쓰인 것이 대표적인 예인데 리만기하학을 모르고서 이 두 개를 이해하는 것은 절대 불가능할 정도로 중요하게 쓰인다. 이것이 우리가 쌍곡기하학과 리만기하학을 배워야 하는 이유다.
쌍곡기하학과 리만기하학에 대한 자세한 내용은 다음에 알아보도록 하고 지금은 먼저 쌍곡기하학과 리만기하학이 어떻게 탄생되었는지에 대해 알아볼 것이다.

참고 자료

없음