중등수학지도 쌍곡선

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본문내용

쌍곡선에 대하여
정의 : 2정점에 이르는 거리의 차가 일정한 점의 자취
방정식 : (a>0, b>0)
특징 : 이 때 그 2정점은 초점이라고 한다.곡선은 x축, y축에 대하여 대칭이다.

쌍곡선

쌍곡선은 A(a,0)에서 x축과 만난다.
a x 에서만 존재한다.
x가 증가하면 y도 증가한다.

제 1사분면에서는 x>0 이므로
따라서, 곡선은 원점을 지나는 직선

L :

의 아랫쪽에 있다.

은 두 직선

, 에 한없이 가까이 간다.
이 두 직선을 쌍곡선 의 점근선이라 한다.

, 인 2직선을 하나로 묶어서
라 쓸 수 있다. 방정식 에 한하여 방정식
이 나타내는 곡선을 쌍곡선 의 공액쌍곡선이라고 한다.

공액쌍곡선은 B(0,b) , B`(0,-b) 에서 y축과
만나고 2직선 , 을 점근선
으로 하는 쌍곡선이고, 다음 그림에서 점선
으로 나타낸 곡선이다.

쌍곡선 에 대하여 y축이 그 공액방정식과 만나는 점 B(0,b) , B`(0,-b) 를 잇는 BB` 를 공액축, O를 쌍곡선 의 중심이라고 한다.
a=b 일 때 은 이 된다.

원점 O를 중심으로 하고 반경이 a 인 원
을 쌍곡선 의 보조원이라고 한다.

위 식을 에 대입하여 를 얻는다. 따라서 곡선상의 점은 , 로 표시된다.

따라서 , 은 매개변수 를 써서 표시한 쌍곡선의 방정식이다. 이 를
의 이심각이라고 한다.
쌍곡선 에 있어서
를 이심률이라고 한다.

그러므로 (1 또 초점의 좌표는 F(ae,0) , F`(-ae,0) 이다.

또 OD= OD` =- 인 D,D` 에 있어서 x축에
수직인 2직선
L : x = L` : x=-
을 쌍곡선 의
준선 이라고 한다.

P가 곡선의 오른쪽 분지상에 있으면 x a이고, 왼쪽 분지상에 있으면 x -a 이다.
(x a)
(x -a)
쌍곡선상의 점 P(x,y) 에서 준선 L,L` 에 이르는 PN,PN` 를 그으면
이다.

이 역도 증명되므로 다음을 얻는다.
<정리> 쌍곡선은 일정점과 정직선과의 이르는 거리의 비가 상수 e(e>1)와 같은 점의 자취이다.

참고 자료

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