[사범/자연/수학]연속체 가설

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연속체 가설에 대해 정리한 내용입니다.

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본문내용

1.연속체 가설의 출현 이유 - 무한
수학자 및 철학자들은 고대 그리스 시대부터 무한대 및 무한 집합의 개념과 씨름해 왔다.
중세를 거치면서 철학자들은 잠재적 무한과 구체적인 무한 사이에 대해 논의해 왔다.
어떤 무한 집합들의 비교는 역설을 낳는다는 것이 지적되었다.
이와 같은 역설을 피하기 위해서는 완성된 무한집합에 대한 개념을 파기해야만 한다.
이러한 문제에 부딪혀 많은 수학자들이 무한에 관한 연구를 하였으나 무한집합에 관한 진정한 수학적인 취급은 19세기 말에 이르러 칸토어(G.F.L.Philipp Cantor 1845-1918)의 놀랄만한 연구가 있기 전까지 나타나지 않았다.

"과연 자연수 전체의 집합보다 위수가 크고, 실수 전체의 집합보다 위수가 작은 그러한 위수와 수 체계가 존재할까"라는 질문에. 칸토어는 그러한 수 체계가 존재하지 않을 것이라고 예상을 했고, 괴델은 그러한 수 체계가 존재하더라고 현존하는 논리적 형식 안에서는 무모순이다라고 증명했던 것이다.

2.연속체 가설의 출현 배경
1)갈릴레오(Das Leben des Galileo Galilei 1564-1642)
완성된 무한 집합의 구체적인 존재는 제거되어야만 한다고 주장하였다. 즉, 비록 제곱수들의 집합이 자연수 전체의 집합의 진부분집합이지만, 각 자연수를 그것의 제곱수와 연결시킴으로써, 자연수들을 그것들의 제곱수들과 일대일 대응을 시킬 수 있다는 것이다.

참고 자료

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