힐베르트의 23문제 탐구 보고서

목차

1.탐구 동기
2.연속체 가설은 참인가?
3.느낀점

본문내용

탐구 동기
고등학교 수학’과정에서 4단원 ‘집합과 명제’ 단원에서 집합의 개수에 대해서 무한집합일 때 그 집합의 개수를 세는 것이 가능한지에 대해서 의문이 들었고 그에 대해서 찾던 도중 기수에 대한 개념을 알게 되었다. 이어 무한집합의 기수를 비교하는 법에 대해서 호기심을 가졌고 자연수, 유리수, 무리수, 실수 등을 칸토어의 대각선 논법, 함수의 대응 등을 통해서 최대한 가능한 대응을 찾아 비교해보았다. 관련된 정보를 찾던 도중 연관된 내용으로 연속체 가설이라는 것이 있다는 것을 알게 되었다. 그 연속체 가설을 이해하기 위해서 기수의 연산에 대해서 찾아보며 이해하려는 노력을 하여 일부 내용을 이해했다. 연속체 가설을 넘어서 일반 연속체 가설이 있다는 것 또한 알게 되었고, 연속체 가설과 관련되어 쿠르드 괴델이라는 사람이 발표한 불완전성 정리라는 것이 있다는 것을 알게 되었다. 불완전성 정리는 쉽게 이해할 수 없었기에 연속체 가설보다 더 많은 노력을 통해서 정보를 수집하고 학습했다. 그러던 도중에 연속체 가설이 힐베르트라는 수학자가 세상에 내놓은 난제 23가지 중 첫 번째이며 괴델의 불완전성 정리는 두 번째 난제에 해당된다는 것을 알게 되었다. 들어보지도 못했던 수학자 ‘힐베르트’는 가우스가 죽은 후에 최고의 수학자라고 불리고 있다는 사실에 놀랐으며 그 23가지 난제의 의의에 대해서 다시 한 번 생각해보며 연속체 가설이나 괴델의 불완전성 정리가 아닌 ‘힐베르트의 23가지 문제’자체에 대해서 관심을 가지게 되었다. 23가지 난제 중 이미 알고 있는 2가지 난제 정도의 문제가 21가지나 더 있다는 것에 놀라움을 느끼었고 탐구하게 되었다.

1. 연속체 가설은 참인가?
해결되었다.
19세기 말 독일의 칸토어는 매우 다양한 실수 집합들을 조사하였는데, 이때 그들의 크기가 무한이면 자연수 전체의 집합 또는 실수 전체의 집합과 크기가 같다는 것을 발견하였다.
예를 들면 짝수 전체의 집합은 자연수 전체의 집합과 크기가 같고, 정수 전체의 집합과도 크기가 같다. 또 유리수 전체의 집합.

참고 자료

없음