[수학] 원주율이 무리수라는 것의 증명

소개글

고등학생도 이해할 수 있을 정도로 쉽습니다.
참고로, pi가 무리수라는 것은 여러가지로 쉽게 증명 가능하지만, pi가 초월수라는 것은(즉, pi는 계수가 유리수인 2차 혹은 고차방정식의 해가 될 수 없다는 것은) 증명이 매우 어렵습니다.

목차

1. 니벤(Nieben)의 증명

본문내용

Lemma : 임의의 실수 u에 대해

Proof. u가 실수이면 eu도 실수이고, eu=1+u+u2/2!+u3/3!+…+un/n!+…이다. 이 급수가 eu에 수렴하기 위해서는 {1,u,u2/2!,u3/3!,…,un/n!,…}가 0에 수렴해야 한다. 따라서
이다.

Nieben's proof of the irrationality of π:
π가 유리수라 가정하여 π=a/b (a와 b는 양의 정수)라 놓자.
이 가정하에, 임의의 자연수 n>0 에 대해 다음과 같은 다항식을 잡자.
f(x)=xn(a-bx)n/n!
이 다항식은 차수 2n이고, 계수들이 유리수이다. 전개하면,

참고 자료

http://www.wikipedia.org/wiki/Pi