0의 0제곱

소개글

"0의 0제곱"에 대한 내용입니다.

목차

1. 일단 0⁰을 계산해보자
2. 다른 방식으로 접근해보자.
3. 0⁰은 1이다. 다항식ver.
4. 0⁰은 1이다. 함수의 극한ver.
5. 뫼비우스의 굴욕
6. a⁰은 1이라는 또 다른 주장

본문내용

제곱은 중학생 때 처음 접해서 지금까지 사용하고 있는 것이다.
제곱을 처음 배울 때 어떤 수의 0제곱은 1이라고 배우면서도 0의 거듭제곱은 항상 0이라고 배웠다.
그렇다면 0의 0제곱(0⁰)은 0일까 아님 1일까 하는 의문이 들었다.

일단 0⁰을 계산해보자
먼저 공학용 계산기(컴퓨터 내장)을 사용해서 계산하면 1이라고 나온다.
그렇다면 다른 공학용 계산기(휴대폰 내장)을 사용해서 계산해도 1이라고 나올까?
나는 당연히 둘 다 공학용 계산기이니 1이 나올 줄 알았지만 오류라고 떴다.
그렇다면 엑셀을 이용하여 구해보면 어떻게 나올까? 엑셀을 사용했을 때 역시 오류가 나왔다.

다른 방식으로 접근해보자.
일단 거듭제곱이란 무엇일까? 거듭제곱이란 같은 수, 식 또는 문자를 여러 번 곱한 것이다.
세제곱과 스무제곱 등등의 뜻은 중학교 교육과정을 거친 사람이라면 알 것이다.
a가 수일 때 n개를 곱한 것을 우리는 aⁿ이라 하는데 이 때 지수n이 자연수라면 계산하기 수월하다. 이에 따라서 0ⁿ에서 n이 자연수라고 할 때 0ⁿ=0이 성립한다.
그렇다면 n이 0이거나 음의 정수 일 때는 어떨까? a를 0번 곱하거나 (음수)번 곱하는 것은 불가능하기 때문에 위에 나온 정의를 따를 수 없다.
그렇다면 이럴 때는 어떻게 정의해야 할까?

이 때 우리가 배운 ‘지수 법칙’을 사용하여 a⁻ⁿ=⅟aⁿ이라고 정의 한다.
그렇다면 aⁿ과 a⁻ⁿ은 역수 관계이므로 곱하면 1이 되기 때문에 aⁿ˟a⁻ⁿ=a⁰으로 a에 0을 대입하면 0⁰=1이 성립한다. 하지만 이 경우 음의 지수를 이용해서 설명했기 때문에 a가 0이 아니라는 조건이 붙기 때문에 0⁰=1이라고 주장할 수 없다.

거듭제곱과 지수법칙을 사용해서 자연수 n에 대해서 ‘0ⁿ=0’과 0이 아닌 수 a에 대해 'a⁰=1' 임을 알 수 있지만 밑과 지수 모두 0인 수에 대해서는 아무런 정보도 얻을 수 없다.
그렇다면 0⁰은 어떤 수로 정의해야 할까?

참고 자료

없음