응용대수학 개념 정리 (중간)

목차

1. Section 29. Introduction to Extension Fields (확대 체의 소개)
2. Section 30. Vector Spaces (벡터공간)
3. Section 32. Geometric Constructions (기하 작도)
4. Section 31. Algebraic Extensions (대수적 확대 체)
5. Section 33. Finite Fields (유한체)

본문내용

Section 29. Introduction to Extension Fields (확대 체의 소개)

29.1 Definition
∙ 체 F와 E가 F ≤ E(F가 E의 부분 체)를 만족하면 E를 F의 확대 체 (extension field)라고 한다.
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18.16. Definition
∙ 체(field)는 가환인 나눗셈 환이다.
∙ 곱셈 항등원 1(≠ 0)을 갖는 환 R의 원소 u ∈ R가 R 안에 곱셈 역원을 가지면, u를 R의 단원(unit)이라 부른다.
환 R의 영이 아닌 모든 원소가 단원이면, R은 나눗셈환(division ring 혹은 skew field)이다.

⇒ 체(field)
: 가환환이고, 곱셈 항등원 1(≠ 0)을 갖는 환 R의 영이 아닌 원소 u ∈ R가 R 안에 곱셈 역원을 가지며, u는 환 R의 영이 아닌 모든 원소이다.

<중 략>

30.3 Example
∙ 임의의 체 F에 대하여 F[x]도 F – 벡터공간으로 볼 수 있다.
덧셈은 보통의 다항식의 덧셈으로, 상수 곱도 상수와 다항식의 보통의 곱으로 정의하면 된다.
F[x]가 환이라는 사실로부터 공리 Ѵ₁부터 Ѵ₅는 따라온다.
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30.4 Example
∙ 체 E가 체 F의 확대 체이면 E는 F 위의 벡터공간이다. 벡터의 덧셈은 E의 덧셈, a ∈ F와 α ∈ E의 곱은 E에서의 체의 곱으로 정의하면 된다. 이 경우에도 벡터공간의 공리는 E의 체의 공리로부터 따라온다.
이 경우 스칼라 체 F는 벡터공간 E의 부분집합이다. 이 벡터공간이 우리에게 중요한 예이다.

참고 자료

없음