암호학 개념 정리 (현대대수학)

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제4장. 기초 대수학 – 20.04.21~20.05.05
4.0 현대대수학

정의 4.1 (이항연산)
∙ 집합 S (≠ ∅)상에서 정의된 (이항) 연산 (binary operation on S)이란,
임의의 (a, b) ∈ S × S에 대하여, S의 원소를 하나씩 대응시키는 법칙(rule)이다.

∙ S 상의 연산을 ∗라고 할 때, (a, b) ∈ S × S에 대응되는 S의 원소를 a∗b로 쓴다.
∗ : S × S → S, (a, b) ↦ a∗b ∈ S, ∀ a, b ∈ S, 즉, ∗는 다음과 같은 함수로 이해할 수 있다.

예제 4.1
∙ 사칙연산의 이항연산
∙ + : ℤ × ℤ → ℤ, (a, b) ↦ a + b ∈ ℤ
∙ - : ℤ × ℤ → ℤ, (a, b) ↦ a - b ∈ ℤ
∙ × : ℤ × ℤ → ℤ, (a, b) ↦ a × b ∈ ℤ
∙ ÷ : ℝ × ℝ → ℝ, (a, b) ↦ a ÷ b ∈ ℝ (단, b ≠ 0)

<중 략>

정리 4.2 (군의 성질)
∙ G를 군이라 하고, a, b, c, a₁, a₂, …, aₜ를 G의 원소들이라 하자.
(1) 항등원 e ∈ G는 유일하다.

(2) a의 역원 a′ ∈ G도 유일하다.

(3) 다중결합법칙이 성립한다. (a₁∗a₂∗…∗aₜ ∈ G의 값은 괄호를 어떻게 치든 관계없이 유일하게 결정된다.)
a₁∗a₂∗a₃∗a₄ ≔ (a₁∗a₂)∗(a₃∗a₄) = ((a₁∗a₂)∗a₃)∗a₄ = (a₁∗(a₂∗a₃))∗a₄
= a₁∗((a₂∗a₃)∗a₄) = a₁∗(a₂∗(a₃∗a₄))

(4) e′ = e, (a′)′ = a, (a∗b)′ = b′∗a′이다.

(5) a∗c = b∗c ⇒ a = b이고, c∗a = c∗b ⇒ a = b이다.

(6) 방정식 a∗x = b, y∗a = b의 해는 각각 x = a′∗b ∈ G와 y = b∗a′ ∈ G이고 유일하다.

참고 자료

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