[일반 물리]우주선의 자세 제어 방법

소개글

Photogate detector를 이용하여 작용-반작용에 의해 회전하는 물체계의 관성 모멘트와 각운동량을 측정함을 통해 각운동량의 보존을 확인하고 물체의 회전 운동에 미치는 마찰력의 영향에 대해서 탐구한다.
2. 배경 이론
각운동량 보존의 법칙
각운동량은 하나의 입자에 대해 L = r × P 로 정의되며 여러 개의 입자로 이루어진 강체의 경우 L = I α 가 된다. 회전운동에서 뉴턴의 제2 운동 법칙은 τ = dL / dt 로 나타나며, 이는 외부 토크가 없을 경우 계의 각운동량은 일정하게 보존됨을 나타낸다.
각운동량 보존 실험 장치
실험 장치에서는 회전원판과 모터의 고정자가 같이 회전하고 모터의 회전자와 알루미늄판, 축, 그리고 추가 함께 작은 마찰을 동반하여 회전한다. 마찰, 공기 저항 등을 무시할 때 회전원판과 회전체는 고립계를 이루며 전자기력에 의한 모터의 회전으로 이 둘이 받는 토크 및 각운동량은 그 크기가 같고 방향이 반대가 된다. 이를 통해 회전체를 물체 1, 회전원판을 물체 2라 할 때, w1 / w2 = α1 / α2 = - I / ( Imotor + Iw ) 의 관계를 얻을 수 있다. (I: 회전 원판 및 모터 고정자의 관성 모멘트, Imotor: 모터 회전자의 관성모멘트, Iw: 추의 관성모멘트)

목차

1. 실험 목적
2. 배경 이론
각운동량 보존의 법칙
각운동량 보존 실험 장치
3. 실험 결과 및 논의
그래프의 각 구간 분석
각속도비, 각가속도비를 이용한 각운동량 보존 여부 및 관성모멘트비의 측정
회전체의 관성모멘트 계산
추의 낙하가속도를 이용한 관성모멘트의 직접 측정
마찰 토크에 의한 효과
역기전력에 의한 구동 토크의 변화

본문내용

다음은 159.50 g의 추를 이용한 실험의 결과 얻은 시간에 따른 모터와 회전 원판의 각속도의 그래프이다. 여기서 녹색 그래프는 모터의 각속도이고, 적색 그래프는 회전원판의 각속도이며 이 둘의 스케일은 대략 100배 정도 차이가 나므로 유의할 필요가 있다. 그래프는 크게 4 구간으로 나누어 볼 수 있다. 우선 첫 번째 구간은 모터의 구동이 시작되면서 그 반작용으로 인해 회전원판이 회전체와 반대방향으로 가속되는 구간이다. 제일 처음 모터가 구동될 때의 큰 토크가 회전 원판과 축과의 마찰보다 커 가속이 일어나게 된다. 그러나 모터의 토크는 점점 줄어들고 어느 순간부터는 모터의 구동의 반작용에 의한 토크보다 마찰에 의한 토크가 우세해져 감속이 일어나게 된다. 그러다가 원판은 결국 정지하게 되고 그 이후에 모터의 구동이 정지된다. 그러면 회전체와 회전 원판 사이의 마찰에 의해 회전체의 회전에너지가 회전 원판으로 전달되기 시작하며, 둘 사이의 회전 속도 차이가 충분히 작아지면 둘 사이의 마찰에 의해 같이 회전하게 된다. 이후 이 둘은 회전원판과 축과의 마찰에 의해 서서히 감속되어 결국엔 정지한다.

그렇다면 이 실험의 중요한 요소인 마찰 토크에 의한 각운동량의 감소의 양상을 살펴보자. 다음은 위에서 회전원판의 관성모멘트를 측정하기 위한 실험을 30초의 시간동안 실시하여 얻은 6번의 낙하, 상승 왕복에 대한 최대 각속도와 왕복간 시간 및 그 log 값들이다.

또 이 실험으로부터 전자기 유도에 의한 모터의 구동 토크의 감소를 관찰할 수 있다. 그 감소율은 각속도 자체의 음의 값에 비례하여 τ = ( Imotor + Iw ) dw1/dt = τ0 – β w1과 같은 식이 성립하며 (마찰 무시), dw1/dt = τ0 / ( Imotor + Iw ) – ( β / ( Imotor + Iw ) ) w1으로 정리하여 w1에 따른 dw1/dt를 plot하면 τ0 와 β의 값을 구할 수 있다. 이와 같은 현상이 나타나는 이유는 모터 내부의 코일에서 각속도에 비례하여 역기전력이 발생하기 때문이다. 분석 프로그램에서 주어진 w1과 dw1/dt은 다른 시간에서 계산된 값이므로 내분점을 이용한 선형 추정으로 같은 시간으로 보정하여 w1에 따른 dw1/dt를 다음과 같이 plot하였다. (회전체 1 사용)
이것은 모터의 구동 토크가 전해지는 영역만을 절단하여 plot한 것이며, 예측한 바와 같이 선형적인 감소를 보이고 있다. 추세선의 식에서 각 항에 ( Imotor + Iw ) = 9.08e-5 kg m^2를 곱하면 τ0 와 β의 값을 구할 수 있으며 이들은 각각 τ0 = 3.42e-3 N m, β = 2.93e-5 kg m^2 / s이 된다. 실제로는 여기에 마찰이 함께 작용하고 있으며, 긴 시간 동안 모터를 구동할 경우 모터의 구동 토크와 전자기 유도에 의한 역 토크, 마찰 토크가 평형을 이루어 일정한 속도로 회전하게 될 것이다.

참고 자료

Halliday / Resnick / Walker, Fundamentals of Physics, 7/ed, 2005, Wiley, p253, p283-p293
http://physlab.snu.ac.kr/newphyslab/lab/exp5.htm