[수학]피보나치 수열

소개글

피보나치 수열

목차

1. 피보나치 수열은 누가 언제 발견했는가?
2. 피보나치 수열의 특징
3. 생활 속에서의 피보나치 수열

본문내용

주먹을 꽉 쥐어 보자. 그리고 엄지손가락을 편 후 나머지 손가락마다 뼈마디의 길이를 재어 보자. 아마도 손끝에서 첫 번째 뼈마디 대비 두 번째 뼈마디 길이와 두 번째 길이 대비 세 번째 뼈마디가 대체로 일정하게 증가하는 것을 알 수 있을 것이다. 그리고 그 비가 1.6 정도를 기준으로 크게 벗어나지 않을 것이다.
이러한 규칙성에 대한 탐구가 오늘의 주제인 피보나치 수열에 대한 것이다.

1. 피보나치 수열은 누가 언제 발견했는가?
시대는 12세기 말 이탈리아로 돌아간다. 수학자 레오나르도 피보나치(1170-1240)가 1202년 저술한 ‘산반서’에 처음으로 ‘피보나치수열’이 등장했다. 피보나치는 어느 날 집에서 기르던 토끼가 새끼를 번식하는 과정을 보면서 다음과 같은 문제에 관심을 갖게 됐다.
‘가령 한 농장에서 갓 태어난 암수 한 쌍의 토끼가 사육됐다고 하자. 새로 난 토끼 1쌍은 두 달 뒤부터 매달 암수 새끼 1쌍을 낳는다면, 1년 동안 토끼는 암수 몇 쌍으로 불어나는가?’ 이 문제를 풀어보면, 먼저 토끼가 갓 태어난 새끼 한 쌍으로 시작했기 때문에 1개월 및 2개월 동안은 새끼 1쌍이 그대로 있고 셋째 달에 암수 새끼 1쌍을 낳았기 때문에 총 암수 2쌍이 된다. 넷째 달에 암수 어미 한 쌍이 또 암수 1쌍을 낳아 총 3쌍이 되고, 다섯 째 달에는 어미가 또다시 1쌍을 낳고, 새끼도 어른이 되어 1쌍을 분만해 총 5쌍이 된다.
매달 암수 쌍의 수를 수열로 나열하면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ···이 되는데 이것이 바로 피보나치 수열인 것이다.

2. 피보나치 수열의 특징
수학적으로 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ···의 이와 같은 규칙성을 가지는 피보나치 수열의 특징은 크게 두 가지가 있다.
그 첫째가 새로운 수는 앞의 두 수의 합에 의해 결정된다는 것이다. 즉, 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3처럼 3항 이상의 수는 바로 전 두 항의 합이란 점이다.
이 수열의 또 다른 특징은 앞 항으로 다음 항을 나누면 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.666, 8/5=1.6, 13/8=1.625, 21/13=1.615 등이 되는데, 이를 계속하게 되면 인간이 보편적으로 가지는 심미안에 가깝고 미적 감각이 뛰어나 가장 아름답고 이상적인 분할이라 인식하는 황금비 1.618…에 가까이 간다는 사실이다.

참고 자료

박경미. (2006). 수학 비타민. 랜덤하우스중앙. pp. 56-62.
박경미. (2005). 생각을 키우는 수학나무. 랜덤하우스중앙. pp. 51-55.
http://blog.naver.com/sahalalove?Redirect=Log&logNo=10008159609
http://cont112.edunet4u.net/%7Eemil05/nmath/pvd.htm
http://www.mathlover.co.kr/iyagi/principles/fibonaccii%28%BC%F6%BF%AD29/goldratio.html
http://blog.naver.com/ararikim?Redirect=Log&logNo=70005507554
http://www.mathlover.co.kr/iyagi/principles/fibonaccii%28%BC%F6%BF%AD%29/goldratio.html