소수에 대한 모든것.

소개글

소수에 대한 정의와 종류들 그리고 그 증명을
아주 보기 쉽고 이해하기 쉽게 설명해놓았습니다.
마지막에 총괄평가문제도 만들어보았습니다.
유용한 자료로 쓰세요!

목차

1. 소수의 정의

* 무엇 때문에 1은 왜 소수가 아닐까?

2. 소수의 종류
1) 페르마 소수
2) 메르센 소수
3) 쌍둥이 소수
4) 계승소수
5) 소피 제르맹 소수

완전수, 친화수

4. 소수는 무한할까?
※ 유클리드의 정리 (소수는 무수히 많이 존재한다.)

5. 소수 찾는 방법

6. 수학자들이 큰 소수를 찾는 데에 관심을 쏟는 이유?

7.총괄평가문제 및 답

본문내용

완전수에 관하여 피타고라스가 발견한 또 하나의 '완전성'은 '2'라는 숫자와 깊은 관련이 있습니다. 4(2×2), 8(2×2×2), 16(2×2×2×2) 등의 수들은 2를 모두 연속적으로 곱하여 만들어진다는 공통점을 갖고 있습니다. 즉 이들은 모두 (n은 지수로서 2를 곱하는 횟수를 나타낸다)으로 표현될 수 있습니다. 그러나 이렇게 만들어진 숫자들은 결코 완전수가 될 수 없습니다. 왜냐하면 이런 수의 약수들을 모두 더해보면 원래의 수보다 항상 1이 작기 때문입니다. 즉 '안타까운' 불완전수 인 것입니다.
= 2 × 2 = 4, 약수 : 1, 2 합 = 3
= 2 × 2 × 2= 8, 약수 : 1, 2, 4 합 = 7
= 2 × 2 × 2 × 2= 16, 약수 : 1, 2, 4, 8 합 = 15
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, 약수 : 1, 2, 4, 8, 16 합 = 31
그로부터 2세기가 지난 뒤, 유클리드는 피타고라스의 발견을 한층 더 우아하게 표현해 냈습니다. 즉 완전수는 항상 두 자연수의 곱으로 표현할 수 있는데, 이들 중 하나는 2의 제곱수이고(), 나머지 하나는 그 수에 다시 2를 곱한 뒤 1을 뺀 수()라는 것이었습니다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같습니다.
6 = 2·3 = ,
28 =4·7 = ,
496 = 16·31 = ,
8,128 = 64·127 = ,
33,550,336 =4096·8191 = ,
유클리드는 이 소수라면, 이 완전수임을 증명 했습니다.
[증명] p=2 일 때는 이므로 소수죠? 따라서 완전수입니다.
p=3 일 때는 은 소수이므로 이것도 완전수입니다.
이러한 식으로 이 소수가 되는 소수 p 만 알아낼 수 있다면
짝수의 완전수를 다 구할 수 있습니다.

총괄평가문제
1. 다음 중 옳은 것은? ③
① 자연수는 소수와 합성수로 나누어진다.
② 짝수는 2의 배수이므로 소수가 될 수 없다.
③ 소수의 집합은 무한집합이다.
④ 소수는 약수가 1개뿐이다.
⑤ 소수는 모두 홀수이다.
(풀이) ① - 자연수는 1과 소수와 합성수로 이루어져 있다.
② - 소수에 유일한 짝수인 2가 있다.
③ - 유클리드의 정리에 의해 ‘소수는 무한하다’는 것이 증명 되었다.
④ - 소수의 약수는 1과 자신이다.
⑤ - 소수에 2도 포함되는데 2는 짝수이다.
2. 소수의 이름과 그 종류가 알맞게 짝지어진 것을 고르시오. ④
① 페르마소수 - ② 쌍둥

참고 자료

네이버, 엠파스, 야후, 한국교원대학교 수학과 홈페이지 등등