패러독스와 무한

소개글

패러독스와 무한에 관하여 깔끔하게 정리된 자료입니다.
이해하기 쉽고 재미있게 접근하였으며
마지막에 총괄평가문제까지 다루었습니다.
최고 점수를 받은 자료입니다.

목차

개요>
패러독스(Paradox)
1. 패러독스의 의미 - 패러독스란 무엇인가?
2. 패러독스의 여러 가지 유형
(1) 러셀의 역설 - 이발사의 패러독스
(2) 투표의 역설 - 비이행성의 관계
(3) 제논의 역설 Ⅰ - 반분의 패러독스
(4) 제논의 역설 Ⅱ - 아킬레스와 거북이의 경주
3. 패러독스의 예
(1) 성아의 거짓말
(2) 이상한 편지
(3) 플라톤과 소크라테스의 대화
(4) 돈키호테 이야기
4. 패러독스의 원인 / 이유
5. 패러독스의 의의
6. 총괄 평가 문제

무한
1. 무한에 관한 고찰 - 무한이란?
2. 무한의 기호
3. 수렴과 극한
4. 칸토르의 집합론
5. 무한의 예 - 무한 호텔
6. 총괄 평가 문제

본문내용

1. 패러독스의 의미 - 패러독스란 무엇인가?
우리는 일상생활 속에서 막연한 상식을 뛰어넘어 논리적으로 모순되는 일들을 종종 보게 되는데, 이러한 경우를 논리적인 역설, 즉 패러독스라고 한다.
‘역설’이라는 말은 그밖에도 다양한 의미로 쓰일 수 있겠으나 여기서는 아래처럼 크게 네 가지의 부류로 나누어 좀 더 넓은 시각에서 역설의 의미를 생각해 보도록 하겠다.
ⅰ. 명백히 거짓인 것처럼 보이지만 실은 참인 주장
ⅱ. 명백히 참인 것처럼 보이지만 실은 거짓인 주장
ⅲ. 논리적으로 전혀 오류가 없어 보이지만, 결국 논리적 모순을 낳는 추론
ⅳ. 참인지 거짓인지 판단할 수 없는 주장
2. 패러독스의 여러 가지 유형
(1) 러셀의 역설 - 이발사의 패러독스
세빌리아 인인 이발사가 자신의 가게 앞에 팻말을 걸어 놓았다.
"나는 세빌리아 모든 사람들 중에서 스스로 면도하지 않는 사람들만을 면도해 준다."
1902년 논리학자 프레게는 모든 수학의 기초가 될 모순 없는 집합론을 개발했다고 생각하면서 책을 펴내려 했다. 그의 집합론은 스스로를 포함하지 않는 모든 집합의 집합을 허용하는 것이었다. 그 때 프레게는 러셀에게서 앞에서의 이발사의 역설이 적힌 편지를 받았다.
자신을 원소로 포함하는 집합 모두를 원소로 하는 집합을 M이라 하고,
자신을 원소로 포함하지 않는 집합 모두를 원소로 하는 집합을 N이라 표시하자.
M={A|A∈A, A는 집합}, N={A|AA, A는 집합}∴ N∩M=
그렇다면 과연 "집합 N은 자신의 원소일까?"
1) N∈N이면, 정의에 의하여 N N이다.
2) 반대로 N N이면, 정의에 의하여 N∈N이다.
즉, N ∈ N ⇔ N N 이 된다. 이것이 모순이다.
결국 이발사의 역설은 프레게가 주장한 집합이 자기모순을 낳고 있음을 명백하게 보여준 것이었다. 이를 다시 표현하면 아래와 같다.
바로 이 모순이 러셀 패러독스의 요체인 것이다.
⇒ 이 역설에 대해서 러셀 스스로가 제안한 해결책은 집합의 개념을 `이미 존재하는 집합들의 잘 정의된 모임`으로 제한하자는 것이다. 러셀과 화이트헤드는 그 유명한 타입 이론(Theory of Types)에서 타입에 따라 집합을 여러 계층으로 분류했다. 제일 낮은 단계인 제 1타입은 단일 대상, 즉 직접적인 대상인 개체들(individual objects)을 원소로 나타낸다. 다음 단계인 제 2타입은 제 1타입 개체들의 집합을 대상으로 하는 집합을 나타내며, 그 다음 단계인 제 3타입은 제 1타입 또는 제 2타입 집합을 대상으로 하는 집합을 나타낸다. 그리고 이런 방식으로 계속 정의해 나간다. 따라서 제 (N-1)타입 이하의 대상들의 집합들이 제 N타입의 원소가 된다. 이런 방법을 이용하면 하나의 집합은 단지 그보다 높은 타입의 어떤 집합의 원소가 될 수 있을 뿐이다. 따라서 그 집합은 자기 자신의 원소가 될 수가 없으므로 러셀의 패러독스를 피할 수 있다.
(2) 투표의 역설
갑, 을, 병 세 사람이 대통령 후보로 나섰다. 마지막 여론 조사에 따르면, 유권자 중의 2/3는 을보다 갑을 더 좋아하고, 또 유권자 중의 2/3는 병보다 을을 더 좋아하는 것으로 나타났다. 그러면 갑은 병보다 당선될 확률이 더 높을까?
반드시 그렇지는 않다. 만약 유권자들의 선호가 아래의 표와 같다면, 놀라운 역설이 나타난다.
비율
선 호 순
1/3
갑 을 병

1. 무한에 관한 고찰
★ 무한이란?
=>「무한」이라는 말은 희랍어로는 ‘아페이론’(aperon) 이라고 하는데, 이 말은 ‘아’라는 부정의 의미를 갖는 접두사와 ‘페라스’(peras) 라는 ‘끝’, ‘한계’, 또는 ‘한정’의 EMt을 갖 는 단어와의 합성어로서 ‘끝이 없다’, ‘한계가 없다’ 또는 ‘한정되어 있지 않다’라는 의미 를 갖는데, 보통 ‘무한’이라고 번역되고 있다.
★ ‘무한’과 ‘셀 수 없다’의 차이는?
=> 「무한」이란 말 그대로 무한한, 끝이 없는 것을 말한다. 숫자라기 보단 개념으로써 설 명이 가능하다.
「셀 수 없음(uncountable)」은 너무 많아서 셀 수 없다는 것이다. 즉, 실수의 경우는 0 과 1 사이에도 무한개의 수가 있기 때문이다. 만약 0.000000001 보다 더 작은 수를 찾으라고 한다면 0.000000000001처럼 얼마든지 만들 수 있기 때문에 셀 수 없다는 뜻 을 갖는다. 그래서 실수와 같은 경우를 셀 수 없는 무한(uncountable infinite)이라고 한다.
그러나 자연수와 같은 경우는 1, 2, 3 처럼 계속해서 셀 수는 있다. 1000000000001 보다 더 큰 수를 찾으라고 하면 100000000000000000001처럼 얼마든지 더 큰 수를 찾을 수 있다. 그래서 자연수와 같이 셀 수 있으면서 무한한 것을 셀 수 있는 무한(countable infinite) 라고 한다.
여기에 추가하자면 말 그대로 셀 수 있음, 즉, countable 도 무한한 경우와 유한한 경 우로 나뉘어 질 수 있겠지만, 굳이 이해를 돕자면 자연수의 경우가 셀 수 있는 무한 (countable infinite) 이고, 말 그대로 유한한 수를 유한(finite) 라고 한다. 결국, 셀 수 있 음과 셀 수 없음, 셀 수 있는 무한, 셀 수 없는 무한... 이렇게 서로 다른 형태로 구분할 수 있다.
사람이 가득 들어있는 커다란 운동장이 있다. 이제 의자가 남는지 사람이 남는지, 아니면 사람과 의자수가 같은지 알고 싶다고 해보자. 이럴때는 모든 사람들에게 의자에 앉아보라고 해보는 것이다. 만약 빈의자가 있다면 사람이 적은 것이고 서있는 사람이 있다면 의자가 더 적은 것이다. 의자가 다찼고 서있는 사람이 없다면 둘은 같다. 칸토르는 이런 기법을 일반화했다. 예를들어 집합 {1.2.3}을 보자. 그것은 {2.4.6} 과 크기가 같다. 모든 숫자들이 의자에 ‘앉았고’모든 ‘의자’가 다 차서 완벽한 자리배치가 되었기 때문이다.
1 2 3
2 4 6
무한집합을 가지고 해보면 흥미로운 일이 발생한다. 음이 아닌 정수의 집합 {0.1.2.3.4.5..}을 보자. 이 집합은 명백히 그 자신과 같다. 각 숫자들은 자기 자신 위에 ‘앉을’수 있다.
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
여기에 아무런 속임수는 없다. 모든 집합은 명백하게 자기자신과 같다. 그런데 만약 이 집합에서 숫자들을 지워나가면 어떻게 될까? 만약 0을 지운다면? 이상하게도 0을 지우더라도 집합의

2. 무한의 기호
무한을 나타내는 기호 ∞ 는 최근에야 생겨났다. 기호 ∞ 는 1655 영국의 수학자 왈리스 (John Wallis, 1616-1703)에 의해 최초로 사용되었다. 왈리스는 수학자이면서 고전학자이기도 했다. 아마도 그는 1억을 나타내는 로마의 수표기법에서 무한 기호를 따온 것 같다.
3. 수렴과 극한

참고 자료

없음