Newton-Raphsonl법과 예제

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비선형방정식을 풀기위한 Newton-Raphsonl법과 예제

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없음

본문내용

근을 구하는 공식중에 가장폭 넓게 사용되는 것이 Newton-Raphson 법이다. Newton-Raphson법 에서는 접선이 독립변수의 축과 만나는 교점인 근을 추정하기 위하여 도함수를 계산해야 한다.이러한 값을 유도하기 위하여 Taylor 급수 전개를 사용하는것이다.

(1)

여기서 는 근의 초기 가정값이고 , 는 접선이 x축과 만나는 교점이다. 근의 정의에 따라 이 교점에서 값이 0 이어야 하므로 식(1)은 다음과 같이 정리 될수 있다

이식은 단일 방정식에 해당하는 형태이다.

연립방정식에 해당하는 형태도 같은 방법으로 유도된다. 그러나 두 개 이상의 변수가 근의 값을 결정하는데 관계 되기 때문에 다변수에 대한 Taylor 급수를 사용해야 한다. 두 변수의 경우에 비선형 방정식의 1차 Taylor 급수전개는 다음과 같이 표시된다.



단일 방정식의 경우에서와 같이 x1과 x2 에 해당하는 근의 추정값에 대해서 의 값을 0으로 놓는다. 이 상황에서 식 (2 )을 재 정리 하면 다음과 같다.



하첨자 I가 붙은 모든 값들은 아려져있기 때문에 유일한 미지수는 x1 ,i+1과 x2,I+1뿐이다. 따라서 식 (3) 은 이 두미지수에 대한 연립 방정식이 된다. 대수 조작을 통해 다음과 같은 미지수를 구할수 있게 된다
두식에서 나타나는 분모를 시스템의 Jacobian 행렬식이라고 부른다.


예제 풀기



방정식에 대한 초기 계산값을 미리 x_1 =1.5 x_2 =3.5 로 가정하고 시작한다.

먼저 초기 가정값 x_1과 x_2에서 편미분을 계산하면 다음과 같다.


따라서 첫 번째 반복을 위해 Jacobian의 행렬식을 구하면 다음과 같다.
6.5(32.5)-1.5(36.75)=156.125
초기 가정값에서의 함수 값을 계산하면 다음과 같다.

참고 자료

Mc graw hill korea 손권외 공역