[현대대수학]내용정리

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대수학
1. 유한군 G의 위수가 짝수이면
①인 가 G에 존재한다.
② 위수가 2인 원소가 존재한다.
③ 위수기 2인 부분군이 존재한다.
④ 비자명부분군이 존재한다.
2. n이 홀수일 때 위수 2n을 갖는 가환군 G는 위수가 2인 원소를 단 하나 갖는다.
3. 가 군 G의 위수가 2인 유일한 원소이면
① 모든 에 대하여 이다.
② 이다.
4. 가환군 G에서 각 자연수 n에 대하여 은 G의 부분군이다.
5. 가 이면 를 군의 멱등원(idempotent)이라 한다.
군 에는 멱등원이 유일하게 존재한다.
6. G를 군, H를 G의 비자명부분집합이라 할 때 다음 세 명제는 서로 동치이다.
(1) H는 G의 부분집합이다..
(2) H는 G의 연산에 대하여 닫혀있고, G의 항등원 e가 H에 있으며, 각 에 대하여 이다.
(3) 모든 에 대하여, 이다.
7. 군 G의 중심 는 G의 가환인 정규부분군이다.
8. 순환군은 가환군이다.
9. 순환군의 부분군은 순환군이다.
10. 순환군의 상군은 순환군이다.
11. 비자명진부분군이 없는 군은 순환군이다.
12. 군 G가 a로 생성된 무한순환군이면 a의 모든 멱은 다르다.
13. 무한순환군 G는 와 동형이다.
14. 위수 n인 유한순환군 G에 대하여 m이 n의 약수이면 방정식 은 G에서 정확히 m개의 해를 갖는다.
15. 유한군 G가 각 자연수 m에 대해서 의 해를 많아야 m개 가지면 순환군이다.
16. 이면
① 은 비가환군이다.
② 이다.
③ 모든 에 대하여 를 만족하는 의 원소는 (1)뿐이다.
17. 가 홀수 길이의 순환이면 도 같은 길의의 순환이다.
18. ① 인 군 G의 부분군 H는 정규부분군이다.
② H가 유한군 G의 절반의 원소를 갖는 부분군이라면 H가 G의 정규부분군이다.
19. 동형에 관계없이 위수360인 가환군을 분류하시오.
20. 유한 가환군 G가 순환군이 아닐 필요충분조건은 G가 어떤 소수 p에 대하여 와 동형인 부분군을 갖는 것이다.
26. 군 G의 위수가 소수이면 G는 순환군이다.
27. 은 순환군이 아니다.
28. 유한군 G에서 H가 주어진 위수를 갖는 유리한 부분군이면 H는 G의 정규부분군이다.
29. 군 G의 부분군 H에 대하여 는 H를 정규부분군으로 갖는 G의 부분군이다.
30. ① 비자명 p-군 G의 중심은 비자명이다.

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