[수치해석] Heun`s method와 Euler`s method로 미분방정식 구하기

소개글

미분 방정식을 Heun`s method와 Euler`s method를 이용해 적분하기

C언어 프로그램을 사용

목차

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RESULT OF PROBLEM
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본문내용

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위에서 Heun`s method와 Euler`s method로 미분방정식을 계산하여 그 값들을 구하였다. 위의 결과들은 구간을 1로 나누었을 때이며, Heun 15는 corrector를 15번 반복 계산한 값이다. 결과 값들로 그래프를 그려보면 위의 그래프가 그려진다. 참값에 가장 가까운 값들을 갖는 것은 Heun`s method에서도 15번 반복 계산을 한 값들임을 이 그래프에서 알 수 있다. 그리고 참값과 오차를 가장 많이 보이는 것은 Euler`s method이다. 계산 값들이 가 증가함에 따라서 계속 오차가 커지는 현상을 볼 수 있다. 이는 위의 계산 방법들이 가지는 오차가 approximation하면서 생기는 오차가 발생한 값을 다음 값 계산 과정에서 사용하기 때문이다. 이는 특히 Euler`s method에서 심하며 이런 오차를 줄이기 위하여 구간을 작게 하는 방법이 있다.

위의 계산방법을 구간을 작게 하여 다시 계산해 보았다. 구간을 작게 할수록 Euler`s method의 오차가 줄어드는 것을 확인할 수 있다. Euler`s method의 각 구간에서의 값들로 그래프를 그려 그 오차를 비교해보면 다음과 같다.
구간을 0.8로 나눴을 때의 그래프와 0.4로 나누웠을 때의 그래프를 참값으로 나타낸 그래프와 비교해보면 0.8로 나눴을 때 보다 0.4로 나눴을 때 오차가 1/2정도로 줄어드는 것을 확인 할 수 있다. 이는 Euler`s method의 오차가 이기 때문이다. 그리고 Euler`s method보다 Heun`s method가 같은 크기의 구간에서 계산값의 오차가 작은 이유는 기울기의 평균값을 구해 보다 정확한 기울기를 구하였기 때문이다.
Euler`s method는 오차를 줄이기 위하여 구간을 계속 작게 나누어야하는 비효율적인 방법을 사용하여야한다. 그러나 Heun`s method는 구간을 크게 나누어도 corrector를 반복계산을 함으로서 오차를 줄여나갈 수 있다.
이 점이 Heun`s method의 장점이다.

참고 자료

없음